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《福建教育》│《让“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”》

(发布人:办公室  最后更新时间:07-16 10:52  发布时间:07-16 10:48  点击量:525)

我校王淼生老师的


《让“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”》


发表于


最新一期的《福建教育》






让“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”


——对高中数学概念教学的思考


(福建省厦门第一中学  王淼生  )




摘要


概念是数学思维的载体。概念教学是数学教学的核心环节。由于数学概念高度抽象、深奥及中高考压力,导致生机盎然的概念教学严重异化为“一个定义、二项注意、三类例题、N套强化训练题”的解题教学模式。历经十年的不断探索,提出概念教学策略,形成概念教学范式,实现数学概念从“学术形态”向“教育形态”的转化,让“冰冷美丽”焕发出“火热思考”。




关键词:数学概念;概念教学。





一、问题:数学教学核心在于概念教学


数学从根本上是玩概念。数学难就难在概念教学。数学概念高度抽象,决定了概念教学必须充分展示概念引入、生成、提炼、精致过程。解题教学替代概念教学是造成学业负担过重的根源,也是长期以来概念教学存在的顽症。数学教师应该具备怎样的知识结构?又该如何高效实施概念教学?这是数学教学中最为紧迫、最为重要的课题。




#01


客观事实:高度抽象是数学概念的基本特征


数学是研究客观世界数量与图形关系的一门科学。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式,即一种数学的思维形式。概念是数学的细胞,是思维的载体。数学概念是进行推理证明的依据,是构建定理法则的基础,是形成思想方法的前提,是培养创新能力的源泉,是提升核心素养的保证。概念教学是数学教学的核心环节,整个数学知识体系是建立在概念基础之上,因此数学概念在数学教学中占有绝对重要的地位。数学概念是高度抽象、浓缩的结晶。数学难就难在概念,数学教学最为棘手的就是概念教学,因此学术界将数学概念教学誉为“冰冷的美丽”。




#02


教学现状:课堂解题教学替代数学概念教学


无论是《普通高中数学课程标准(实验稿)》,还是《普通高中数学课程标准(2017年版)》,明确要求教师引领学生全程参与概念生成过程,体验概念提炼历程,在辨析中巩固概念,在构建中精致概念,优化思维品质,激发创新意识。然而,迫于中高考压力,只顾眼前、局部利益,片面追求升学率与分数,三年课程缩短为两年甚至一年半讲完。追求概念教学最小化和习题讲解最大化,把生机盎然的概念教学异化为“一个定义、二项注意、三类题型、N套强化”的解题模式。学生在没有真正理解数学概念本质内涵的前提下模仿解题,导致加大作业量、增加考试频率的“题海”战术,陷入伤了学生、苦了老师的恶性循环之中。




#03


问题症结:负担过重症结在于异化概念教学


为何学生数学学业负担越来越重?


为何学生越来越害怕数学?


根源是什么?


症结在哪儿?


又该如何解决?


关键就在课堂教学,症结就是将概念教学异化为解题教学,与“三维目标”相违背,与培养数学核心素养相抵触,制约学生能力发展,这是数学概念教学中最为紧迫、最值得关注的问题。随着核心素养的提出,数学教师知识结构已经成为教育研究领域的热点课题。从教师应该教什么,到应该怎么教,再到应该具备什么样的知识、实际具备什么知识及实际是怎么教学的。关注有效数学概念教学具有哪些特点,高效能数学教师具有哪些特殊的知识,更加有效概念教学需要教师掌握哪些相关知识。




二、行动:聚焦“学术形态”化为“教学形态”


新一轮课程改革,基本诉求是实施素质教育,减轻学生负担,提高教学质量。就数学学科而言,发展学生智力水平,提升数学核心素养重中之重在于概念教学,因此确立概念教学理论依据,深度剖析教材,使得数学概念变得丰富且易于接受,尤其无缝对接研究的各个阶段,实现数学概念从“学术形态”到“教学形态”的转变。


#01


确立理论:基于MPCK理论实施概念教学


美国学者舒尔曼(Shulman)于1986年提出学科教学内容知识(PCK)理论,是一般教学法知识(PK)与学科内容知识(CK)的特殊整合。舒尔曼最初界定PCK为教师将自己所掌握的学科知识转化成学生理解形式的教学知识,这是教师独一无二的领域与知识。将PCK从泛学科研究中独立出来,成为数学学科教学知识(MPCK)研究主题。MPCK集中体现数学教师专业性的独特知识,是数学知识(MK)、CK、PK高度融合。数学概念教学是一个漫长、艰辛的过程。要求教师专业厚实(MK)、知识丰富(CK)、策略先进(PK)、敏锐智慧(MPCK)。概念教学是衡量数学教师专业功底、学术素养的标杆,因此必须加强并丰富数学教师MPCK。MPCK是实现数学概念从“学术形态”转化为“教学形态”的理论支撑。




(上图表示从泛学科的PCK演绎出MPCK理论,其中右图表明MK、PK、CK交集越大,MPCK越丰富,数学概念教学效果越好、效率越高。)




#02


剖析教材:数学概念内涵丰富易于接受


数学教材过度浓缩,多数概念(比如三角函数源自天文学)的引入、提炼过程未能完全展现,使得原本高度抽象的概念(比如正态分布密度函数)更加苦涩、枯燥,导致学生学习产生障碍。教师要充当教材与学生之间的协调员,担当概念与学生之间的铺路工,对教材所呈现的思维链进行加密和拓展,合理设置阶梯,给学生思维搭桥,让学生知其然,更知其所以然。没有对教材的深度理解,概念教学成为无源之水、无本之木。因为当教师MK欠缺,难以担当概念的铺路工;PK欠缺,难以充当协调员;CK欠缺,难以担当搭桥人;PCK欠缺,难以承担加密工;MPCK欠缺,难以承担数学概念教学。


图片

比如,三角学源自天文学。后来从球面三角独立得到平面三角并形成近代三角学。标志三角学从静态研究演绎为反映周期运动变化的一门具有现代数学特征的学科。了解三角发展史对提高业务水平,厘清教学误区(三角函数是锐角三角函数的简单推广吗?摒弃终边定义法是因为单位圆简单而采用单位圆定义法吗?),加强理论修养,拓宽专业视野,积淀数学文化,提升自身素养是大有益处。


再如,为何叫诱导公式?诱导公式顺序可以改变吗?还需要增加诱导公式?怎样理解“奇变偶不变,符号看象限”呢?如何领悟教材编者意图?如何将自己融入编者队伍?通过深度剖析教材,不仅使教材变得丰富且易于接受,而且将研究成果“追寻三角学发展史 领悟主编意图 理清教学困惑——以三角函数为例”“深入研究教学 领悟编者意图——对诱导公式的几点思考”发表在《中国数学教育》《中学数学教学参考》并全文转载在中国人民大学复印报刊资料《高中数学教与学》,引起读者强烈反响。




#03


深度访谈:解题教学出于心理补偿安慰


我们通过大量问卷调查、个体深度访谈还发现这样的“秘密”:原来人们一直以为长期以来解题教学替代概念教学的目的就是为了满足短期内提高分数,其实还有一个重要因素,那就是教师因自身专业功力不足而难以深入悟透数学概念本质,常常感觉概念教学“单薄”,出于心理因素而不断加大解题教学时间与精力,以此作为心理补偿学生,求得教师自我心理安慰。这是我和团队在前期概念教学研究中没有预料到的,也是我们后期研究概念教学中需要密切关注的方面,尤其针对青年教师。




#04


实施过程:研究阶段无缝对接环环相扣


针对概念教学现状,我们在2011—2021年10年间分四个阶段持续开展了以下研究。




Vol.1


第一阶段(2011年1月—2013年6月):调研并构建魅力数学课堂模式。面对突出问题:调查研究表明概念教学普遍异化为“定义—注意—题型—强化”的解题模式。遭遇最大障碍:扭转低效乃至负效课堂教学模式,更难的是让同事相信并支持改革与实践。解决主要问题:构建高效数学概念课堂教学模式。实施研究过程:首先在所教两个班级进行对比试验,再顺延到年段所有班级(2012年3—6月)。问卷调查、个体访谈数据分析及期末考试成绩说明开展魅力课堂实验必要而且可行,增强团队信心,于是推广到高中三个年段(2012年9—12月)。经慎重考量,扩大到初中所有年段全面实施(2013年2—6月)。






Vol.2


第二阶段(2013年7月—2016年6月):追寻数学概念教学理论依据。面对突出问题:完成省级课题“优化学生思维品质的魅力数学课堂模式研究”(2016年,优秀),但在成果推广过程中,发现没有理论支撑,概念教学难以提升学生素养。团队需要一套成熟且可操作的理论引领。遭遇最大障碍:文献资料与教学案例很少,从事研究的更少,没有先例照搬,没有模式可套,只能在摸索中前行。解决主要问题:将PCK从泛学科分离出来并演绎到数学学科,形成MPCK理论,成为研究数学概念教学航标。实施研究过程:首先大量查阅文献,提出MPCK理论构想;其次着手研究MK、PK、CK在数学学科的特定含义;再次研究特定数学概念教学的MPCK构成要素;最后尝试开始实施MPCK理论视角下的概念教学启蒙实践。遇到最大的挑战就是不少教师不知道,更不愿意接受MPCK理论,而固守一直以来的“解题式概念教学”。通过专题讲座、名师引领、专家示范、教学成果评比以及技能大赛等一系列活动,传播MPCK理论。3所实践检验学校应用与推广工作顺利展开,并按计划推进各项实践。






Vol.3


第三阶段(2016年7月—2018年7月):研究MPCK视角下概念教学策略。面对突出问题:问卷调查显示90。3%教师不知道PCK,甚至从内心抵触,因为不少年龄偏大的教师将解题教学视为概念教学的模式的观念根深蒂固。遭遇最大困惑:运用正面突破、有意差错、事后补救、严谨推理等四种策略实施教学中,尤其“有意差错”如何把握度;“事后补救”如何掌握“火候”。在实践检验学校推广成果时,真正引领数学教研组,尤其年轻教师专业化成长。解决主要问题:传播并丰富MPCK理论,凝练并提出了正面突破、有意差错、事后补救、严谨推理等四种概念教学策略。至此,我们团队有了自己明确的、全面的概念教学理论依据与教学策略,为后续深入开展数学概念教学夯实了坚实的基础。实施研究过程:首先通过课堂教学实证,带动周边同事接受并传播MPCK理论;其次专家现场点评概念教学,鼓励同行模仿并实施概念教学;其次凝练并提出了正面突破、有意差错、事后补救、严谨推理等四种有效策略,全面开展同课异构、技能大赛、教学比武等一系列课堂概念教学;再次我们在3所实践检验学校(海沧实验中学、厦门实验中学及厦门三中)紧锣密鼓地开展实践、成果推广及案例开发等系列研究;最后请专家会诊,反思研究中的成功与教训。






Vol.4


第四阶段(2018年8月—2021年5月):深度学习导向下核心概念教学。面对突出问题:在成果推广及实践检验学校教学中,再发现新问题:涉及核心、疑难概念教学,教师MK、CK含量严重不足,严重影响概念教学效率。遭遇最大困难:在推广成果过程中,涉及核心(三角函数)及疑难(回归分析)等概念教学难以深入,教师普遍缺少深厚专业知识MK(如概率)、相关知识(CK)及综合运用教学(PK)策略破解疑难概念教学的效果(MPCK)。尤其与高等数学相关的概念(大数定理、概率定义、残差分析等)更是困难。解决主要问题:开展深度学习,并与核心素养紧密结合,提升教师MK、CK,继续申报并立项了省级课题“基于深度学习的概率统计概念教学研究”(2020年)及市级课题“核心素养下的疑难中学数学概念教学研究”(2021年),同时继续在实践检验校开展应用与推广。实施研究过程:首先继续推进概念教学专著《概念:数学教学永恒主题》出版发行(2018年);其次历时5年的全国规划课题“基于数学教学内容知识(MPCK)圆满结题(2019年,良好等级);再次通过学术报告、示范课等传播、推广成果;最后在《数学通报》等期刊发表论文及由实践检验学校参与研发经典案例结集,将概念教学推向新的高度。






三、成果:“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”


数学概念教学是一个专业提升、慢工细活、反复打磨、纠正错误、综合内化、纵横交错的过程。我们传播了MPCK理论,丰富了MPCK内涵,提出了数学概念教学四种有效策略,指出了教材中一系列瑕疵乃至错误,形成了概念教学“一MK二CK三PK四MPCK”范式,研发了系列概念教学案例,提高了教师专业素养,激发了学生积极性,享受了学习数学的快乐,打造了一支科研队伍,引领了一批年轻教师专业成长,带动了实践应用学校高度发展。




#01


理论素养:论著论文课题讲座


历时10年的不断探索,我和团队研究的全国规划课题“基于MPCK视角下的概念教学案例研究”获得到目前为止福建省的全国课题结题最高等级(良好)。我的专著《概念:数学教学永恒主题》在全省乃至全国稀少。发表概念教学论文近40余篇,其中4篇全文转载、8篇核心论文;开设了100余场讲座、示范课,其中省级及以上达50余场(节)。正如任勇先生作序中指出,没有一定学术功底,没有长期行思所悟是难以承担概念教学及研究。




#02


教学策略:提出概念教学策略


我们首次提出并全面应用“正面突破”、“有意差错”、“事后补救”、“严谨推理”等四种策略实施概念教学。发表“基于MPCK下的数学概念教学策略——有意差错”“优先概念 理性思考 严谨论证”“数学概念教学不妨事后补救”等系列论文,引起学术界较大反响。




#03


范式教学:形成概念教学范式


我们形成了概念教学“一MK二CK三PK四MPCK”范式。


即面对特定数学概念教学,


首先,数学教师吃透了概念本质吗(MK)?


其次,涉及哪些相关知识呢(CK)?


再次,采取何种教学策略(PK)?


最后,学生将会遇到什么困难?


教师如何应对(MPCK)?




#04


视角新颖:范围突破视角独特


我们将初高中数学概念融为一体,彰显整体性、连贯性与传承性。突破长期以来初高中概念人为割裂局面。兼顾初中侧重说理、高中强调论证的概念教学模式。我们聚焦章头图、章引言及概念“名字”本身(如“回归分析”中的“回归”;“基本不等式”中的“基本”)在概念教学中的先行者地位及特定含义与功能的独特视角。研发启蒙于小学、形成于初中、升华于高中、完善于大学的系列核心、疑难概念教学案例(如函数定义、概率统计等)。




#05


教学比武:各项大赛摘金夺银


教学比武是概念教学的阅兵场,更是检验概念教学成效的试金石。我们团队踊跃参加福建省技能大赛、全国优质课大赛及厦门市“三大赛”,取得辉煌成果。其中周翔等5位老师摘取含金量极高的省技能大赛一等奖;黄昌毅等4位老师勇夺厦门市技能大赛一等奖;陈燕梅等3位教师荣获全国青年教师优质课大赛一等奖;周翔等5位教师授予厦门市基础教育课堂教学创新大赛一等奖。此外,我的团队加强与省、市教研部门,尤其积极参与省教育学院每年寒暑假开展的数学概念专项培训(如概率统计、圆锥曲线、函数概念等),收到很好的口碑。如今,以赛促教、以训促教已经成为我们团队研究概念教学的一张烫金名片。




#06


师资建设:青年教师初露锋芒


数学组师资力量雄厚。全国五一劳动奖章获得者1人,“苏步青数学教育奖”一等奖1人,特级教师2人,正高级教师1人,省级教学名师1人,省市学科带头人12人,厦门市拔尖人才1人,厦门市杰出教师2人,厦门市专家型教师5人。尤其可喜的是周翔、黄昌毅、陈燕梅等一批中青年教师快速成长,勇挑大梁。




#07


成果单位:学生素养显著提升


实施高效概念教学,激发学习数学积极性,在享受中快乐学习,学生素养全面显著提升。高考成绩持续辉煌。近年厦门一中平均每年高考录取清华北大28人左右,全省第一。其中数学学科立下汗马功劳。65人次高考数学满分;300多人次数学145分以上;连续多年高考数学均分勇夺全省第一。竞赛成绩屡创新高。近年在全国高中数学联赛中381人次获奖,其中省级一等奖及以上达30人次。数学组多次受到省市嘉奖,品牌效应进一步巩固。




#08


推广学校:教学质量稳步提升


成果推广基地学校教育质量、教学水平大幅提升,中高考数学成绩屡创新高,呈现跨越式发展,受到各级政府、教育主管部门一致肯定,全部授予省一级达标学校。基地校师资队伍建设取得突破性成果,2人次授予数学特级教师称号,2人次晋升正高级数学教师。立项含2项全国课题在内的30余项课题, 32人次各级各类大赛中获奖,研发核心、疑难概念教学经典案例达20余节。




四、反思:一直坚守在概念教学路上探索


尽管我和我的团队在师资建设、教育科研、各类比赛、学生素养、中高考成绩、品牌效应、辐射引领等方面取得一些成果及突破,但概念教学是一项长期、艰巨的任务,并非一蹴而就,还需要进一步反思:如何细化提升新入职教师及激励年龄偏大的教师MPCK内涵的流程?如何建立缩小农村中学与名校数学教师在MPCK含量差距长效机制?如何尝试从心理学与现代信息技术相结合视角丰富教师MPCK理论?如何实现已有实践科研成果与新课改、新版教材、新高考无缝对接?如何协调数学概念教学中MK、PK、CK之间比例关系及其发展次序?尤其在成果推广应用中,我们发现面对疑难、核心概念(概率、统计等)时,一线教师普遍缺乏深度理解(MK)。正如李勇、章建跃等专家在大型调研报告《全国重点高中数学教师概率统计知识储备现状调查》中指出:“纵使是处于金字塔顶部的重点高中数学教师,他们的概率统计知识储备严重不足,80%以上的教师对大部分概率统计基本概念的认识都处于模糊状态,理解深度不够,缺乏用这些概念答疑解惑的能力,影响概率统计知识的教学效果。”


数学概念教学是一门遗憾的艺术,没有最好只有更好。我们守土有责,会一直坚守在数学概念教学的路上,追寻数学概念教学真谛:让“冰冷的美丽”焕发“火热的思考”。




文章载于《福建教育》2021年第24期


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